فعالیت نامعادلات قدرمطلقی ریاضی دهم - بخش ۱
۱. نامعادله‌ی $|x| \le 3$ را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی $x$ است که فاصله‌ی آن‌ها از مبدأ کوچک‌تر یا مساوی $3$ باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.
مجموعه‌ی مقادیری را که در نمودار بالا مشخص کرده‌اید، به‌صورت بازه بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 91 ریاضی دهم - بخش ۱
سلام! این فعالیت مفهوم **قدر مطلق** را به صورت هندسی (فاصله از مبدأ) برای حل نامعادلات به کار می‌برد.
### **تحلیل نامعادله $\mathbf{|x| \le 3}$**
**مفهوم:** $\mathbf{|x|}$ نشان‌دهنده‌ی **فاصله‌ی** عدد $x$ از مبدأ (صفر) است. نامعادله می‌گوید: «فاصله‌ی $x$ از صفر باید حداکثر $3$ واحد باشد.»
**گام ۱: تعیین حدود**
* این اعداد شامل تمام اعدادی است که بین $-3$ و $+3$ قرار دارند و خود $3$ و $-3$ را نیز شامل می‌شوند.
**گام ۲: نمایش روی محور اعداد**
**گام ۳: نوشتن به صورت بازه**
چون نامساوی به‌صورت **کوچک‌تر یا مساوی** ($\le$) است، کران‌ها ($-3$ و $3$) در مجموعه جواب قرار دارند، بنابراین از پرانتزهای بسته استفاده می‌شود.
$$\mathbf{\text{مجموعه جواب: } [-3, 3]}$$
فعالیت نامعادلات قدرمطلقی ریاضی دهم - بخش ۲
۲. نامعادله‌ی $|x| \ge 3$ را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی $x$ است که فاصله‌ی آن‌ها از مبدأ بزرگ‌تر یا مساوی $3$ باشد. این اعداد را روی محور زیر نشان دهید.
مجموعه‌ی مقادیری را که در نمودار صفحه قبل مشخص کرده‌اید، به صورت بازه بنویسید.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 91 ریاضی دهم - بخش ۲
این بخش، حالت دوم (بزرگ‌تر یا مساوی) نامعادلات قدرمطلقی را بررسی می‌کند.
### **تحلیل نامعادله $\mathbf{|x| \ge 3}$**
**مفهوم:** نامعادله می‌گوید: «فاصله‌ی $x$ از صفر باید حداقل $3$ واحد باشد.»
**گام ۱: تعیین حدود**
* این اعداد شامل اعدادی است که $x \ge 3$ هستند (از $3$ به راست) **یا** $x \le -3$ هستند (از $-3$ به چپ).
**گام ۲: نمایش روی محور اعداد**
**گام ۳: نوشتن به صورت بازه**
این مجموعه جواب، اجتماع دو بازه‌ی جداگانه است:
* بازه‌ی اول (سمت چپ): $$(-\infty, -3]$$
* بازه‌ی دوم (سمت راست): $$,3 \cup [3, +\infty)}$$
فعالیت نامعادلات قدرمطلقی ریاضی دهم - بخش ۳
۳. با استفاده از مراحل بالا، جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.
$$\begin{cases} |x| \le 3 \Rightarrow \underline{\hspace{1cm}} \le x \le \underline{\hspace{1cm}} \Rightarrow \text{مجموعه جواب (به شکل بازه)} = \underline{\hspace{1cm}} \\ |x| \ge 3 \Rightarrow x \le \underline{\hspace{1cm}} \quad \text{یا} \quad x \ge \underline{\hspace{1cm}} \Rightarrow \text{مجموعه جواب (به شکل بازه)} = \underline{\hspace{1cm}} \end{cases}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 91 ریاضی دهم - بخش ۳
این بخش، خلاصه‌ی نهایی و فرمول‌بندی روش جبری حل نامعادلات قدرمطلقی است. این فرمول‌ها بسیار مهم هستند.
### **قوانین حل نامعادلات قدرمطلقی**
#### **۱. حالت کوچک‌تر یا مساوی ($\mathbf{|x| \le a}$)**
* اگر $a > 0$ باشد:
$$\mathbf{|x| \le a \quad \Leftrightarrow \quad -a \le x \le a}$$
* **استفاده از قانون برای $\mathbf{|x| \le 3}$:**
$$|x| \le 3 \Rightarrow \mathbf{-3} \le x \le \mathbf{3} \Rightarrow \text{مجموعه جواب} = \mathbf{[-3, 3]}$$
#### **۲. حالت بزرگ‌تر یا مساوی ($\mathbf{|x| \ge a}$)**
* اگر $a > 0$ باشد:
$$\mathbf{|x| \ge a \quad \Leftrightarrow \quad x \le -a \quad \text{یا} \quad x \ge a}$$
* **استفاده از قانون برای $\mathbf{|x| \ge 3}$:**
$$|x| \ge 3 \Rightarrow x \le \mathbf{-3} \quad \text{یا} \quad x \ge \mathbf{3} \Rightarrow \text{مجموعه جواب} = \mathbf{(-\infty, -3] \cup ,3 +\infty)}$$
| نامعادله | معادل جبری | مجموعه جواب , |
| :---: | :---: | :---: |
| $|x| \le 3$ | $\mathbf{-3} \le x \le \mathbf{3}$ | $\mathbf{[-3 \cup [3, +\infty)}$ |
